فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]

واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری^[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری^[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرایند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایان نامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایان نامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین^[13] به همراه یک فنر پیچشی خطی^[14] و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز^[15] مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با بهره گرفتن از داده های اندازه گیری کرنش^[16] و یا شتاب^[17]، تخمین زده و محاسبه شوند. داده های اندازه گیری به کمک شبیهسازی^[18] در نرم افزار انسیس^[19] فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم^[20] بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس^[21] است. لذا استفاده از روش های معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس^[22]، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.
فصل دوم
مروری بر مطالعات پیشین
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینه های ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهه های گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا^[23] و همکاران [1] با بهره گرفتن از روش پهنای باند نیمهتوانی^[24] ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی^[25] بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ^[26] و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی^[27] حاوی ترک لبهباز را با بهره گرفتن از تئوری تیر تیموشینکو^[28] مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید^[29] [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با بهره گرفتن از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با بهره گرفتن از توابع پاسخ اندازه گیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی^[30] [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ^[31] [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو^[32] [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه^[33] به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد^[34] صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی^[35] و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشته های مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزه های دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان^[36] [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی^[37] مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با بهره گرفتن از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با بهره گرفتن از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با بهره گرفتن از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر^[38] و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با بهره گرفتن از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل^[39] [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج^[40] برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی^[41] [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازه گیری کرده سپس با بهره گرفتن از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو^[42] و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازه گیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با بهره گرفتن از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازه گیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا^[43]  با بهره گرفتن از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان داده های رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس^[44] و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با بهره گرفتن از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت^[45] و بهینه سازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی و یا اندازهگیریهای دینامیکی برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام^[46] [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو^[47] [33] یک روش حوزه زمانی^[48] که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک^[49] مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینه سازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی^[50] [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن^[51] [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازه های ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو^[52] و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر^[53] [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده ، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس^[54] [41] با بهره گرفتن از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی^[55] [42] با بهره گرفتن از اندازه گیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با بهره گرفتن از روش ریلی-ریتز^[56] به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس^[57] [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی^[58] تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار^[59] و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد^[60] تحت ارتعاشات موجی^[61] ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با بهره گرفتن از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی^[62] مدل کردهاند. لویا^[63] و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی^[64] تیرهای ترکدار تیموشینکو^[65] با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی^[66] و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا^[67] و همکاران [46]، با بهره گرفتن از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین داده های خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا^[68] و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازه های مکانیکی از سازه های کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا^[69]  یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازه گیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازه گیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است . برای مثال، اینامورا و ساتا^[70] [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با بهره گرفتن از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو^[71] [53] و کیم^[72] و همکارانش [54] با بهره گرفتن از یک مدل المان محدود فشرده شده^[73] و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازه گیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند . ابراهیم و پتیت^[74] [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند . بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی ، سازه های فضایی و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل^[75] [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی^[76] که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی^[77] مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس^[78] بررسی نموده است [64]. ساتو^[79] [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش^[80] تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز^[81] و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب^[82] پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی داده های تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در ده های اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل اول
مقدمه
1- فصل اول: مقدمه
1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی^[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی^[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها^[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت^[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک^[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار^[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی^[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی^[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر^[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ^[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]