۲-۲-۵ جمع­بندی:
در نتیجه می­توان معادلات الکترودینامیک حاکم بر محیط هیدرومغناطیسی را به صورت زیر خلاصه کرد:
(۲-۱۸)
(۲-۱۹)
(۲-۲۰)
(۲-۲۱)
(۲-۲۲)
(۲-۲۳)
در معادلات حاکم بر جریان نیروی لورنتز به صورت وارد می­ شود که در آن Ha عدد هارتمن بوده و عبارت است از:
(۲-۲۴)
که در آن B شدت میدان مغناطیسی٬ L طول صفحه٬ رسانندگی سیال و ویسکوزیته سیال می­باشد. شکل هندسی نیروی لورنتز وارد بر سیالی که با سرعت در حال حرکت است به صورت زیر است. می­توان با تعویض قطب­های نیروی محرکه٬ جهت نیروی لورنتز را عوض کرد:
شکل ۲-۱ : هندسه مساله از نمای بالا
- - - - - - - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + + + +
-
+

فصل ۳ :
مروری بر چند روش تحلیلی در حل معادلات نویراستوکس
در این فصل به مرور سه روش تحلیلی مهم در حل معادلات حاکم بر جریان می­پردازیم. فرض کنید سیالی در راستای محور xها با سرعت در حال جریان است:
۳-۱ روش تحلیل مقیاسی:
با در نظر گرفتن سیال غیر قابل تراکم با خواص ثابت٬ بیان ریاضی معادلات حاکم بر جریان سیال به شکل زیر در می ­آید:
(۳-۱)
(۳-۲)
(۳-۳)
(۳-۴)
مساله حل دستگاه معادلات دیفرانسیل (۳-۱) تا (۳-۴) یکی از محرک­های اصلی رشد وگسترش ریاضیات کاربردی در طی ۲۰۰ سال گذشته است. در همین راستا اندیشه لایه مرزی این­قدر مهم و ویژه است: راهی هوشمندانه برای تفکر و حل بسیاری از مسایل غیر قابل حل مهندسی.

فرض کنید تغییرات سرعت از تا و تغییرات دما از تا در فضایی نزدیک دیواره جامد رخ می­دهد. مرتبه بزرگی فاصله­ای است که در آن از مقدار صفر تا مقداری نزدیک به تغییر می­ کند. بنابراین درناحیه­ای به ارتفاع و طول مقیاس­های زیر برای تغییرات x و y و u به دست می ­آید:
در ناحیه معادله اندازه حرکت طولی (۳-۲) رقابت بین سه نوع نیرو را نشان می­دهد:
(۳-۵)
همچنین از معادله (۳-۱) داریم:
(۳-۶)
هر دوعبارت مربوط به لختی در رابطه (۳-۵) از مرتبه هستند. بنابراین نمی­ توان از هیچکدام از آن­ها در مقابل دیگری صرفنظر کرد. همچنین اگر ناحیه لایه مرزی را باریک تصور کنیم به گونه ­ای که باشد آنگاه آخرین عبارت دررابطه (۳-۵) یعنی را می­توان به عنوان مقیاس نیروی اصطکاک در این ناحیه در نظر گرفت زیرا ترم دیگر یعنی در مقابل آن ناچیز است. بنابراین در معادله حرکت (۳-۲) از در مقابل صرفنظر می­کنیم و معادله حرکت طولی برای لایه مرزی را به صورت زیر می­نویسیم:
(۳-۷)
با استدلال مشابه برای معادله اندازه حرکت در راستای y داریم:
(۳-۸)
همچنین می­توان گفت در لایه مرزی تغییرات فشار عمدتا در راستای طولی است به بیان دیگر در هر x فشار در داخل ناحیه عملا برابر فشار در خارج لایه مرزی همان ناحیه است:
(۳-۹)
در نتیجه معادله (۳-۷) به شکل زیر در می ­آید:
(۳-۱۰)
همچنین در معادله انرژی لایه مرزی نیز با صرفنظر کردن از عبارت مربوط به نفوذ گرما در راستای x به صورت زیر در می ­آید:
(۳-۱۱)
روابط لایه مرزی (۳-۱۰) و (۳-۱۱) بر این فرض استوار است هستند که تغییرات سرعت و گرما عمدتا در ناحیه باریک نزدیک دیواره رخ می­ دهند.
حال فرض کنید ضخامت ناحیه­ای است که درآن u از صفر در مجاورت دیواره تا در جریان آزاد تغییر می­ کند. همچنین فرض می­کنیم ضخامت ناحیه­ای باشد که در آن از در مجاورت دیواره تا در جریان آزاد تغییر می­ کند. به و به ترتیب ضخامت لایه مرزی سرعت و ضخامت لایه مرزی گرما گویند.
با بهره گرفتن از تحلیل مقیاسی تنش برشی اعمال شده بر دیواره برابر است با:
(۳-۱۲)
ساده­ترین نوع جریان یعنی جریان با فشار یکنواخت را در نظر بگیرید. با اعمال فرض بر معادله اندازه حرکت در راستای x خواهیم داشت: