در نظر می گیریم که در آن

و همچنین اگر مدل را بصورت
در نظر بگیریم داریم
در زیر نمایی از رگرسیون خطی ساده بر روی شکل نمایش داده شده است :

شکل ۴-۱۳: رگرسیون خطی ساده
که در این مدل با روش حداقل مربعات برآورد پارامتر های مدل ،بصورت زیر بدست آمد:

۴-۱۲-۲-۴- رگرسیون خطی چندگانه
همانطور که می دانید در رگرسیون چند گانه متغیر های مستقل (توضیحی ) به P متغیر تعمیم می یابد و مدل رگرسیونی مربوط به آن بصورت

این مدل را می توان بصورت ماتریسی نیز نمایش داد:

پس مدل رگرسیونی بصورت در می آید.
و همچنین برآورد پارامتر های مدل با روش حداقل مربعات بصورت زیر بدست می آید :

و همچنین
همانطور که دیدیم در رگرسیون خطی ساده و چند گانه یک متغیر وابسته داشتیم و یک یا چند متغیر توضیحی ، که تحلیل های ساده ای را نسبت به رگرسیون چند متغیره دارد.
توجه کنید که منظور از اصطلاح رگرسیون خطی این است که میانگین تابعی خطی از پارامتر
می باشد.
یک سری فرضیات بر روی مدل های رگرسیونی گذاشته می شود که ما برای جلوگیری از تکرار در مدل های خطی ساده و چندگانه از روش های آزمون این فرضیات خودداری کردیم بعنوان مثال در رگرسیون چندگانه داریم :
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

E(ei)=0
Var (ei)= σ۲
Cov(ei,ej)=0
Cov(xi,xj)=0
ولی در بخش چند متغیره بطور کامل این شرایط را توضیح و طریقه بررسی درست بودن آنها را با مثال نشان می دهیم.
۴-۱۲-۲-۵- رگرسیون چند متغیره
می توان گفت الگوی رگرسیونی چند متغیره تعمیم رگرسیون چندگانه یک متغیره است. در رگرس یون چندگانه یک متغیره ما تعدادی متغیر مستقل در دسترس داریم که می خواهیم با بهره گرفتن از آنها میزان اثر متغیر های مستقل را بر یک متغیر وابسته ( متغیر پاسخ ) بررسی کنیم(نجیبی،مزارعی،۱۳۸۷).
در رگرسیون چند متغیره چندین متغیر مستقل و چندین متغیر وابسته داریم و هدف تحلیل اثرات متغیر های مستقل بر چند متغیر وابسته (پاسخ) می باشد. ابتدا در این فصل میزان تاثیر پذیری متغیر های وابسته را بررسی کرده و سپس به کمک متغیر های مستقل مقادیر متغیر های وابسته را پیش بینی می کنیم .برای مثال می خواهیم میزان اثر بخشی شدت وزش باد بر مهارت خلبانی از جمله سرعت عکس العمل،میزان دید،مهارت ریاضیات و علوم و … بررسی کنیم.
۴-۱۲-۲-۵-۱ الگوی رگرسیونی خطی چند متغیره با متغیر های توضیحی ثابت
فرض کنید
متغیر های مستقل ثابت بوده و
متغیر وابسته باشند .که می توان آن را با مدل های رگرسیونی زیر نمایش داد :
که بصورت ماتریسی می توان آن را بصورت زیر نمایش داد :

و همچنین ماتریس متغیر های مستقل بصورت :

پس در این حالت مدل بصورت
در می آید. در اینجا و نامعلوم می باشند.
همان طور که دیده می شود پاسخ از الگوی رگرسیون خطی زیر پیروی می کند :
که در آن می باشد.
به عنوان مثال اگر فرض کنیم ماتریس های آنها به صورت زیر می باشد :

و مدل برای اولین ستون y بصورت :